حل الجبر والأعداد المركبة في رياضة بحتة بالإجابات والشرح

1. A(3, 4)

   ليه دي غلطThis is the original complex number, not its conjugate.

2. B(4, 3)

   ليه دي غلطThis swaps the real and imaginary components.

3. C(3, −4) الإجابة الصحيحة
4. D(−3, 4)

   ليه دي غلطThis changes the sign of the real part instead of the imaginary part.

ليه دي الصحThe conjugate of z = 3 + 4i is z̄ = 3 − 4i. In the Argand plane, the real part is the x-coordinate and the imaginary coefficient is the y-coordinate, so the point is (3, −4).

1. A4

   ليه دي غلطThis gives only the positive value, but the modulus equation allows k = −4 too.

2. B−4

   ليه دي غلطThis gives only the negative value, but the modulus equation allows k = 4 too.

3. C±4 الإجابة الصحيحة
4. D±9

   ليه دي غلطThis does not satisfy 3|k| = 12.

ليه دي الصحA cubic root of unity has modulus 1, and |i| = 1. Therefore |−3kω| = 3|k| and |12i| = 12. So 3|k| = 12, giving |k| = 4 and k = ±4.

1. أت٢

   ليه دي غلطت₂ ينتج عند ر=١ ويحتوي على س⁶.

2. بت٣

   ليه دي غلطت₃ ينتج عند ر=٢ ويحتوي على س⁴.

3. جت٤

   ليه دي غلطت₄ ينتج عند ر=٣ ويحتوي على س².

4. دت٥ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحنلاحظ أن (س² + ٢ + ١/س²) = (س + ١/س)²، فالمفكوك يساوي (س + ١/س)⁸. الحد العام ت_{ر+١} = ⁸Cᵣ·س⁽٨−٢ر⁾. للحد الخالي من س: ٨−٢ر=٠ ← ر=٤، وهو ت₅.

المفتاح هنا ملاحظة أن س² + ٢ + ١/س² يساوي (س + ١/س)²، لذلك يصبح المفكوك كله (س + ١/س)⁸. الحد العام في هذا المفكوك هو ⁸Cᵣ س^(٨−ر) (١/س)^ر = ⁸Cᵣ س^(٨−٢ر). الحد الخالي من س يعني أن أس س يساوي صفرًا، فنحل ٨−٢ر=٠ فنجد ر=٤. وبما أن رقم الحد هو ر+١، فالحد المطلوب هو ت₅.

1. أ−٨

   ليه دي غلط−٨ ليس الحل الصحيح: م³=−٨ يعطي م=−٢ لا م=−٨.

2. ب−٢ الإجابة الصحيحة
3. ج٢

   ليه دي غلط٢ يعطي م³+١٠=١٨ وهو ⁸C₁₈ غير معرف.

4. د٨

   ليه دي غلط٨ يعطي م³+١٠=٥٢٢ غير ممكن.

ليه دي الصح(١−س)⁸(١+س+س²)⁸ = [(١−س)(١+س+س²)]⁸ = (١−س³)⁸. معامل س⁶ (ر=٢): ⁸C₂=٢٨ = ⁸C₍م³₊١₀₎، إذن م³+١٠=٢ ← م³=−٨ ← م=−٢.

ابدأ بتبسيط حاصل ضرب القوسين: (١−س)(١+س+س²)=١−س³، إذن المفكوك يساوي (١−س³)⁸. الحد الذي يحتوي على س⁶ يأتي عندما يكون (س³)^ر = س⁶، أي ر=٢. معامله يساوي ⁸C₂ = ٢٨. وبما أن المعامل معطى في صورة ⁸C_(م³+١٠)، فيلزم أن م³+١٠=٢، ومنه م³=−٨، فتكون م=−٢.

1. أ١

   ليه دي غلط١: يعطي نسبة ٥/٨ لا ٥/١٦.

2. ب٢ الإجابة الصحيحة
3. ج٣

   ليه دي غلط٣: يعطي نسبة ٥/٢٤ لا ٥/١٦.

4. د٤

   ليه دي غلط٤: يعطي نسبة ٥/٣٢ لا ٥/١٦.

ليه دي الصحالحد العام: ¹²Cᵣ·أ⁽−ر⁾·س⁽٢٤−٣ر⁾. خالٍ من س: ر=٨ ← ¹²C₈/أ⁸. معامل س³: ر=٧ ← ¹²C₇/أ⁷. النسبة: ٥/(٨أ) = ٥/١٦ ← أ=٢.

اكتب الحد العام في مفكوك (س² + (أس)⁻¹)¹². عند اختيار الحد رقم ر يكون أس س هو ٢(١٢−ر)−ر = ٢٤−٣ر، ومعامل أ يظهر في المقام أ^ر. الحد الخالي من س يحتاج ٢٤−٣ر=٠، إذن ر=٨. أما معامل س³ فيحتاج ٢٤−٣ر=٣، إذن ر=٧. النسبة بين القيمتين تصبح (¹²C₈/أ⁸) ÷ (¹²C₇/أ⁷) = ٥/(٨أ). بمساواتها بـ ٥/١٦ نحصل على أ=٢.

1. أπ/٣

   ليه دي غلطπ/٣: زاوية العدد ع₁ وحده في الربع الأول.

2. ب٢π/٣

   ليه دي غلط٢π/٣: خطأ في تحديد ربع العدد الناتج.

3. ج−٥π/٦

   ليه دي غلط−٥π/٦: ناتج عن خطأ في حساب المجموع.

4. د−٢π/٣ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحع₁+ع₂ = −١−√٣ت. هذا العدد في الربع الثالث: |ع|=٢، زاوية الجهة = π+π/٣=٤π/٣. السعة الأساسية = −٢π/٣ (في (−π،π]).

اجمع العددين أولًا قبل التفكير في السعة: ع₁+ع₂ = (٢−٣) + (٢√٣−٣√٣)ت = −١−√٣ت. الجزء الحقيقي والجزء التخيلي كلاهما سالب، إذن العدد في الربع الثالث. زاوية المرجع لها ظل √٣، فهي π/٣، وبالتالي الزاوية الموجبة هي ٤π/٣. لكن السعة الأساسية تؤخذ داخل الفترة (−π،π]، لذلك نطرح ٢π فنحصل على −٢π/٣.

1. أ٢⁶⁰

   ليه دي غلط٢⁶⁰: تجاهل بنية الحد واعتبار معاملات الثنائي فقط.

2. ب⁶⁰C₂₁

   ليه دي غلط⁶⁰C₂₁: خطأ في حل المعادلة (ر=٢١ لا يصفّر الأس).

3. ج⁶⁰C₂₀ الإجابة الصحيحة
4. دلا يوجد حد خالٍ من س في هذا المفكوك

   ليه دي غلطلا يوجد حد خالٍ: خاطئ، الحد موجود عند ر=٢٠.

ليه دي الصحالحد العام: ⁶⁰Cᵣ·س⁽⁽٦٠−٣ر⁾/٢⁾. للحد الخالي من س: ٦٠−٣ر=٠ ← ر=٢٠. القيمة = ⁶⁰C₂₀.

في الحد العام لمفكوك (√س + ١/س)⁶⁰ نأخذ ⁶⁰Cᵣ (√س)^(٦٠−ر) (١/س)^ر. أس س يساوي (٦٠−ر)/٢ − ر = (٦٠−٣ر)/٢. الحد الخالي من س يحتاج هذا الأس يساوي صفرًا، إذن ٦٠−٣ر=٠، ومنه ر=٢٠. بما أن ر عدد صحيح داخل المدى، فالحد موجود وقيمته العددية هي ⁶⁰C₂₀.

1. أ١٦ × ¹⁰C₅

   ليه دي غلط١٦×¹⁰C₅: خطأ في ترتيب الحد (ر=٥ يعطي ت₆).

2. ب١/١٦ × ¹⁰C₅

   ليه دي غلط١/١٦×¹⁰C₅: خطأ في المعامل والترتيب.

3. ج١/١٦ × ¹⁰C₄

   ليه دي غلط١/١٦×¹⁰C₄: المعامل ١/١٦ خاطئ.

4. د١٦ × ¹⁰C₄ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحت₅ = ¹⁰C₄(٢س)⁴ = ¹⁰C₄·١٦·س⁴. معامل ت₅ = ١٦ × ¹⁰C₄.

الحد الخامس في مفكوك ثنائي يعني ر=٤ لأن رقم الحد هو ر+١. إذن ت₅ = ¹⁰C₄ (٢س)⁴. عند رفع (٢س) للقوة الرابعة نحصل على ٢⁴س⁴ = ١٦س⁴. لذلك معامل الحد الخامس هو ١٦ × ¹⁰C₄. استخدام ¹⁰C₅ هو خطأ ترتيب؛ لأنه يعطي الحد السادس لا الخامس.

1. أ±١

   ليه دي غلط±١: يعطي معامل ٤٥ لا ١٨٠.

2. ب±٢ الإجابة الصحيحة
3. ج±٣

   ليه دي غلط±٣: يعطي معامل ٤٠٥ لا ١٨٠.

4. د±√٢

   ليه دي غلط±√٢: يعطي معامل ٩٠ لا ١٨٠.

ليه دي الصحت₃ = ¹⁰C₂(جس)² = ٤٥ج²س². ٤٥ج²=١٨٠ ← ج²=٤ ← ج=±٢.

الحد الثالث يعني ر=٢ في الحد العام. إذن ت₃ = ¹⁰C₂ (جس)² = ٤٥ج²س². معامل هذا الحد هو ٤٥ج²، وهو يساوي ١٨٠ حسب السؤال. بقسمة الطرفين على ٤٥ نحصل على ج²=٤، ولذلك ج=±٢. الإشارة المزدوجة تظهر لأن ج مربع في المعامل، فالقيمتان تعطيان نفس المعامل.