# دليل مذاكرة مجاني
9 سؤال بالإجابات والشرح.
1.إذا كان: أب⃗ = (٨، ٢، ٥)، ب ج⃗ = (٤، −٦، −٢)، فإن ‖أ ج⃗‖ = ..........
1 درجةليه دي الصحأ ج⃗ = أب⃗ + ب ج⃗ = (١٢، −٤، ٣)، فـ ‖أ ج⃗‖ = √(١٤٤ + ١٦ + ٩) = √١٦٩ = ١٣.
المتجه من أ إلى ج يساوي مجموع المتجهين المتتاليين أ ب⃗ + ب ج⃗. نجمع المركبات: (٨،٢،٥)+(٤،−٦،−٢) = (١٢،−٤،٣). طول المتجه يحسب بجذر مجموع مربعات المركبات: ‖أ ج⃗‖ = √(١٢² + (−٤)² + ٣²) = √(١٤٤+١٦+٩)=√١٦٩=١٣. لذلك الاختيار الصحيح هو ١٣.
2.إذا كان قياس الزاوية بين المستقيم: م⃗ = (٣، ٢، ٠) + ت(٢، −١، م) والمستوي: م⃗ · (٣، ٢، ١) = ٣٠ تساوي ٣٠°، فإن م = ......
1 درجةليه دي الصحجيب الزاوية = |اتجاه المستقيم · نظامي المستوي| / (|اتجاه| × |نظامي|). بحل المعادلة: ٥م² − ١٦م + ٣ = ٠ ← م = ٣ أو م = ١/٥.
اتجاه المستقيم هو (٢،−١،م)، ومتجه النظامي للمستوي هو (٣،٢،١). زاوية المستقيم مع المستوي تستخدم جيب الزاوية، لا جيب تمامها: sinα = |v·n|/(|v||n|). بالتعويض عن α=٣٠° ثم تربيع الطرفين نحصل على معادلة تربيعية في م: ٥م²−١٦م+٣=٠. بحلها ينتج م=٣ أو م=١/٥. لذلك الإشارة السالبة في بعض الاختيارات ناتجة عن خطأ عند فك القيمة المطلقة أو حل المعادلة.
3.إذا كان المستقيمان: م⃗ = (١، ٧، ٣) + ت(٢، م، ٥) و (س−٢)/(٣م) = (ص+١)/٢ = (٢−ع)/٨ متعامدين، فإن م = ......
1 درجةليه دي الصحاتجاه ل₂ هو (٣م، ٢، −٨). للتعامد: (٢)(٣م) + (م)(٢) + (٥)(−٨) = ٠ ← ٦م+٢م−٤٠=٠ ← م=٥.
شرط تعامد مستقيمين في الفراغ هو أن حاصل الضرب القياسي لاتجاهيهما يساوي صفرًا. اتجاه المستقيم الأول هو (٢،م،٥). من الصورة المتناظرة للمستقيم الثاني يكون اتجاهه (٣م،٢،−٨). إذن ٢(٣م)+م(٢)+٥(−٨)=٠. هذا يعطي ٦م+٢م−٤٠=٠، أي ٨م=٤٠، ومنه م=٥.
4.معادلة المستوي الذي يحوي المستقيم: س=١+٤ك، ص=٢+ك، ع=٤+١١ك، وعمودي علي المستقيم: ر⃗ = (٤، ١٥، ٨) + م(٢، ٣، −١) هي ......
1 درجةليه دي الصحالمستوي عمودي على المستقيم الثاني فنظامي المستوي هو (٢،٣،−١). نمر بنقطة س=١ عند ك=٠: ٢(س−١)+٣(ص−٢)−(ع−٤)=٠ ← ٢س+٣ص−ع=٤.
إذا كان المستوي عموديًا على مستقيم، فإن اتجاه هذا المستقيم يصلح متجهًا نظاميًا للمستوي. اتجاه المستقيم الثاني هو (٢،٣،−١)، إذن معادلة المستوي تكون ٢(س−س₀)+٣(ص−ص₀)−(ع−ع₀)=٠. نأخذ نقطة من المستقيم الأول عند ك=٠ وهي (١،٢،٤). بالتعويض: ٢(س−١)+٣(ص−٢)−(ع−٤)=٠، وبعد التبسيط نحصل على ٢س+٣ص−ع=٤.
5.أب ج مثلث فيه أ(١، ٣، ٣)، ب(٠، ١، ٢)، ج(٥، ٧، ١)، إذا كانت د منتصف أج، فإن ‖ب د⃗‖ = ......
1 درجةليه دي الصحد = منتصف أج = ((١+٥)/٢، (٣+٧)/٢، (٣+١)/٢) = (٣، ٥، ٢). ب د⃗ = (٣، ٤، ٠). ‖ب د⃗‖ = √(٩+١٦+٠) = ٥.
نحسب نقطة د باعتبارها منتصف أ ج: د = ((١+٥)/٢، (٣+٧)/٢، (٣+١)/٢) = (٣،٥،٢). بعد ذلك نكون المتجه ب د⃗ بطرح إحداثيات ب من د: (٣−٠،٥−١،٢−٢) = (٣،٤،٠). طوله يساوي √(٣²+٤²+٠²)=√٢٥=٥. إذن القيمة المطلوبة هي ٥.
6.قياس الزاوية بين المستقيم م⃗ = (١، ٢، ٣) + ت(٩، ٤، −٢) والمستوي ٣س + ٤ص + ٥ع = ٦٠ يساوي ....... لأقرب درجة
1 درجةليه دي الصحجا α = |٩×٣+٤×٤+(−٢)×٥|/(√(٨١+١٦+٤)·√(٩+١٦+٢٥)) = ٣٣/(√١٠١·√٥٠) ≈ ٠.٤٦٤. α ≈ ٢٨°.
اتجاه المستقيم هو (٩،٤،−٢)، ونظامي المستوي ٣س+٤ص+٥ع=٦٠ هو (٣،٤،٥). زاوية المستقيم مع المستوي تحقق sinα = |v·n|/(|v||n|). الضرب القياسي = ٩×٣ + ٤×٤ + (−٢)×٥ = ٣٣. أطوال المتجهين هي √١٠١ و√٥٠. إذن sinα = ٣٣/(√١٠١√٥٠) ≈ ٠.٤٦٤، ومنه α ≈ ٢٨° لأقرب درجة. زاوية ٦٢° هي المكملة مع النظامي لا زاوية المستقيم مع المستوي.
7.إذا كان المستقيم ل₁: س/−٨ = ص/٥ = ع/٢ عمودياً على المستقيم ل₂: (س+١)/٢ = (ص−١)/ك = (ع−٣)/م، فإن ٥ك+٢م = ......
1 درجةليه دي الصحللتعامد: (−٨)(٢)+(٥)(ك)+(٢)(م)=٠ ← ٥ك+٢م=١٦.
من الصورة المتناظرة، اتجاه ل₁ هو (−٨،٥،٢)، واتجاه ل₂ هو (٢،ك،م). للتعامد يجب أن يكون حاصل الضرب القياسي صفرًا: (−٨)(٢)+٥ك+٢م=٠. ننقل −١٦ للطرف الآخر فنحصل على ٥ك+٢م=١٦. المطلوب في السؤال هو نفس المقدار ٥ك+٢م، لذلك لا نحتاج لإيجاد ك وم كل واحدة على حدة.
8.إذا كان المستقيم س = ١/٢ ص = ع موازياً للمستوي س + ٢ص + أع + ٥ = ٠، فإن أ = ......
1 درجةليه دي الصحاتجاه المستقيم (١، ٢، ١). للتوازي: الاتجاه عمودي على نظامي المستوي (١، ٢، أ): ١+٤+أ=٠ ← أ=−٥.
اتجاه المستقيم من الصيغة س = ١/٢ ص = ع يمكن قراءته كمتجه اتجاه (١،٢،١). متجه النظامي للمستوي س+٢ص+أع+٥=٠ هو (١،٢،أ). إذا كان المستقيم موازيًا للمستوي، فالاتجاه يكون عموديًا على نظامي المستوي. لذلك نطبق الضرب القياسي: ١×١ + ٢×٢ + ١×أ = ٠. ينتج ٥+أ=٠، إذن أ=−٥.
9.إذا كانت معادلة الخط المستقيم ل₁ هي م⃗₁ = (٤، ٣، ١) + ت(−٢، ١، ٣)، معادلة الخط المستقيم ل₂ هي م⃗₂ = (٥، ١، ١) + م(٢، −١، −٣)، فإن معادلة المستوي الذي يحتويهما هي ..........
1 درجةليه دي الصحل₂ موازية لل₁ (اتجاهها مضاعف). الشعاع الرابط أ₁أ₂ = (١،−٢،٠). النظامي = (−٢،١،٣)×(١،−٢،٠) = (٦،٣،٣)، نبسّط: (٢،١،١). المستوي عبر (٤،٣،١): ٢س+ص+ع=١٢.
اتجاها المستقيمين متوازيان لأن (٢،−١،−٣) يساوي −١ مضروبًا في (−٢،١،٣). نحتاج متجهًا ثانيًا داخل المستوي، فنأخذ الشعاع الواصل بين نقطتين من المستقيمين: (٥،١،١)−(٤،٣،١) = (١،−٢،٠). نأخذ حاصل الضرب الاتجاهي بين (−٢،١،٣) و(١،−٢،٠) فنحصل على متجه نظامي مكافئ لـ (٢،١،١). باستخدام النقطة (٤،٣،١): ٢(س−٤)+(ص−٣)+(ع−١)=٠، أي ٢س+ص+ع=١٢.