حل التفاضل والتكامل في رياضة بحتة بالإجابات والشرح

1. A−1 الإجابة الصحيحة
2. B1

   ليه دي غلطThis loses the negative sign from differentiating e⁻ˣ.

3. Ce

   ليه دي غلطThis treats y′ as 1 instead of −e⁻ˣ.

4. D−e

   ليه دي غلطThis leaves an extra factor of e after multiplying eˣ by e⁻ˣ.

ليه دي الصحSince y = e⁻ˣ, differentiating gives y′ = −e⁻ˣ. Multiplying by eˣ gives eˣ · y′ = eˣ(−e⁻ˣ) = −1.

1. A3

   ليه دي غلطThis would make f″(3) = 12, not zero.

2. B6

   ليه دي غلطThis would make f″(3) = 6, not zero.

3. C9 الإجابة الصحيحة
4. D12

   ليه دي غلطThis would make f″(3) = −6, not zero.

ليه دي الصحFor f(x) = x³ − ax² + 15, f′(x) = 3x² − 2ax and f″(x) = 6x − 2a. At an inflection point, f″(3) = 0, so 18 − 2a = 0 and a = 9.

1. Azero الإجابة الصحيحة
2. B1

   ليه دي غلطThis keeps only one derivative term and misses the cancellation at x = 0.

3. C2

   ليه دي غلطThis is f(0), not f′(0).

4. De

   ليه دي غلطThis treats the derivative as eˣ without evaluating both terms at zero.

ليه دي الصحRewrite 1/eˣ as e⁻ˣ. Then f(x) = eˣ + e⁻ˣ, so f′(x) = eˣ − e⁻ˣ. Substituting x = 0 gives f′(0) = 1 − 1 = 0.

1. A−8 الإجابة الصحيحة
2. B8

   ليه دي غلطThis has the right magnitude but the wrong sign for (−2)³.

3. C10

   ليه دي غلطThis is the value of a, not f(4).

4. D−10

   ليه دي غلطThis mixes the value of a with the negative sign from substitution.

ليه دي الصحFor f(x) = (2x − a)³, f′(x) = 6(2x − a)² and f″(x) = 24(2x − a). The inflection point occurs when f″(5) = 0, so 10 − a = 0 and a = 10. Then f(4) = (8 − 10)³ = (−2)³ = −8.

1. Asin(ln x) الإجابة الصحيحة
2. B−cos(ln x)

   ليه دي غلطThis is not the antiderivative of cos(ln x)/x.

3. Ccos(ln x)

   ليه دي غلطDifferentiating cos(ln x) gives −sin(ln x)/x.

4. D−sin(ln x)

   ليه دي غلطThis has the correct function family but the wrong sign.

ليه دي الصحLet u = ln x, so du = dx/x. The integral becomes ∫ cos u du = sin u + C. Substituting back gives sin(ln x) + C, so the matching option is sin(ln x).

1. A4

   ليه دي غلطThis is too small and does not occur at the quadratic maximum.

2. B8 الإجابة الصحيحة
3. C16

   ليه دي غلطThis comes from multiplying 4 by 4, but y is 2 when x is 4.

4. D32

   ليه دي غلطThis ignores the constraint between x and y.

ليه دي الصحFrom x + 2y = 8, y = (8 − x)/2. Then xy = x(8 − x)/2 = 4x − x²/2, a downward parabola. Its maximum occurs at x = 4, giving y = 2 and xy = 8.

1. A−1/(x + 1)² الإجابة الصحيحة
2. B1/(x + 1)²

   ليه دي غلطThis has the right denominator but misses the negative sign.

3. C1/(x + 1)

   ليه دي غلطThis is the first derivative, not the second derivative.

4. D−1/(x + 1)

   ليه دي غلطThis adds a negative sign to the first derivative but does not differentiate again.

ليه دي الصحFor y = ln(x + 1), dy/dx = 1/(x + 1). Differentiating again gives d²y/dx² = −1/(x + 1)².

1. Aln|sin(x²)| الإجابة الصحيحة
2. B−ln|sin(x²)|

   ليه دي غلطThe sign is wrong; the numerator is the positive derivative of sin(x²).

3. Cln|cos(x²)|

   ليه دي غلطThis would require the numerator to contain −2x sin(x²), not 2x cos(x²).

4. D−ln|cos(x²)|

   ليه دي غلطThis uses the wrong inner function and sign.

ليه دي الصحLet u = sin(x²). Then du = 2x cos(x²) dx, so the integral becomes ∫ du/u = ln|u| + C = ln|sin(x²)| + C.

1. Ax sin x − cos x

   ليه دي غلطThe sign before cos x is wrong; −∫ sin x dx equals +cos x.

2. Bx sin x + cos x الإجابة الصحيحة
3. Cx cos x + sin x

   ليه دي غلطThis comes from mixing the roles of sin x and cos x in integration by parts.

4. Dsin x − x cos x

   ليه دي غلطThis reverses the product term and has the wrong structure.

ليه دي الصحUse integration by parts with u = x and dv = cos x dx. Then du = dx and v = sin x, so ∫ x cos x dx = x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.

1. أ٢هـ الإجابة الصحيحة
2. ب½هـ

   ليه دي غلط½هـ ناتج عن خطأ في تطبيق قاعدة الاشتقاق.

3. جهـ²

   ليه دي غلطهـ² ناتج عن خطأ في تبسيط الأس.

4. د٢هـ²

   ليه دي غلط٢هـ² ناتج عن خطأ في تعويض قيمة س.

ليه دي الصحص = هـ⁽١+٢لوس⁾ = هـ·هـ⁽٢لوس⁾ = هـ·س²، إذن ص' = ٢هـ·س. عند س=١: ص'=٢هـ.

نبسط الدالة أولًا باستعمال خواص الأسس واللوغاريتمات: هـ^(١+٢لو س)=هـ × هـ^(٢لو س)=هـ × س². إذن ص = هـ س². ميل المماس هو المشتقة ص′، فنشتق فنحصل على ص′ = ٢هـ س. عند س=١ يكون الميل ٢هـ. الخطأ الشائع هو اشتقاق الصورة الأسية مباشرة دون تبسيط، أو نسيان أن هـ ثابت مضروب في س².

1. أ|ص| = |س + ٣|

   ليه دي غلط|ص|=|س+٣| خطأ في ترتيب الطرفين.

2. ب|س| = |ص + ٣| الإجابة الصحيحة
3. ج|ص + ٢س| = ٠

   ليه دي غلط|ص+٢س|=٠ لا تتوافق مع المعادلة التفاضلية.

4. د|ص + س| = ١

   ليه دي غلط|ص+س|=١ لا تتوافق مع شروط المسألة.

ليه دي الصحبفصل المتغيرات: دص/(٣+ص) = دس/س. بالتكامل: لو|٣+ص| = لو|س| + ث. عند س=١، ص=−٢: لو١=لو١+ث ← ث=٠. إذن |ص+٣|=|س|.

المعادلة س ص′ = ٣+ص تعني دص/دس = (٣+ص)/س. نفصل المتغيرات فنكتب دص/(٣+ص)=دس/س. بالتكامل نحصل على لو|٣+ص| = لو|س| + ث. نستخدم الشرط س=١، ص=−٢: الطرفان يساويان لو١، فيكون ثابت التكامل صفرًا. إذن لو|٣+ص|=لو|س|، وبحذف اللوغاريتم نحصل على |ص+٣|=|س|.

1. أس³ − ٣س²

   ليه دي غلطس³−٣س²: الثابت ث≠٠ وهذا خطأ.

2. بس³ − ٣/٢ س² + ٢

   ليه دي غلطس³−٣/٢ س²+٢: القيمة د=٢ لا تتحقق مع الشرط.

3. جس³ − ٣/٢ س² الإجابة الصحيحة
4. دس³ + ٣/٢ س²

   ليه دي غلطس³+٣/٢ س²: إشارة المعامل خاطئة.

ليه دي الصحص'' = ٦س−٣، بالتكامل: ص' = ٣س²−٣س+ث. ص'(١)=٠ ← ث=٠. بالتكامل: ص = س³−٣س²/٢+د. ص(٢)=٢: ٨−٦+د=٢ ← د=٠. إذن ص = س³ − ٣/٢ س².

معدل تغير ميل المماس هو المشتقة الثانية، إذن ص″ = ٦س−٣. بالتكامل الأول: ص′ = ٣س²−٣س+ث. المماس أفقي عند س=١، أي ص′(١)=٠، فينتج ث=٠. بالتكامل مرة ثانية: ص = س³ − (٣/٢)س² + د. بما أن المنحنى يمر بالنقطة (٢،٢)، نعوض فنجد ٢ = ٨−٦+د، إذن د=٠. فتكون المعادلة ص = س³ − ٣/٢ س².

1. أπ/١٥

   ليه دي غلطπ/١٥: خطأ في التكامل أو الحدود.

2. ب١٦π/١٥ الإجابة الصحيحة
3. ج٣١π/١٥

   ليه دي غلط٣١π/١٥: خطأ في التبسيط.

4. د٣٨π/١٥

   ليه دي غلط٣٨π/١٥: خطأ في الحساب.

ليه دي الصحالمنحني يقطع محور السينات عند س=٠ وس=٢. الحجم = π∫₀²(٢س−س²)²دس = π∫₀²(٤س²−٤س³+س⁴)دس = π[٤س³/٣−س⁴+س⁵/٥]₀² = π(٣٢/٣−١٦+٣٢/٥) = ١٦π/١٥.

المنطقة محصورة بين المنحنى ص=٢س−س² ومحور السينات. نحدد حدود الدوران من نقاط التقاطع مع محور السينات: ٢س−س²=٠، أي س=٠ أو س=٢. حجم الدوران حول محور السينات يساوي π∫ ص² دس من ٠ إلى ٢. إذن الحجم = π∫₀²(٢س−س²)² دس = π∫₀²(٤س²−٤س³+س⁴) دس. بالتكامل والتعويض نحصل على π(٣٢/٣−١٦+٣٢/٥)=١٦π/١٥.

1. أ−٥/١٢

   ليه دي غلط−٥/١٢: هذه قيمة أ وحده، لا مجموع أ+ب.

2. ب−٥/٦ الإجابة الصحيحة
3. ج٥/١٢

   ليه دي غلط٥/١٢: إشارة خاطئة.

4. د٥/٦

   ليه دي غلط٥/٦: إشارة خاطئة.

ليه دي الصحد'(س) = أس³−٨ب. د'(٢)=٠ ← ٨أ=٨ب ← أ=ب. د(٢)=٥: ٤أ−١٦ب=٥، وبما أن أ=ب: ٤أ−١٦أ=٥ ← أ=−٥/١٢. إذن أ+ب=٢×(−٥/١٢)=−٥/٦.

وجود قيمة عظمى محلية عند (٢،٥) يعني أن النقطة على المنحنى وأن المشتقة الأولى تساوي صفرًا عند س=٢. نشتق: د′(س)=أ س³−٨ب. من د′(٢)=٠ نحصل على ٨أ−٨ب=٠، أي أ=ب. ثم نعوض في قيمة الدالة: د(٢)=١/٤ أ×١٦ − ٨ب×٢ = ٤أ−١٦ب = ٥. وبما أن أ=ب، ينتج −١٢أ=٥، إذن أ=ب=−٥/١٢. المطلوب أ+ب=−٥/٦.

1. أ٤

   ليه دي غلط٤: خطأ في تطبيق نظرية الأساس.

2. ب٥

   ليه دي غلط٥: خطأ في حساب [س²د(س)] عند الحدود.

3. ج٦ الإجابة الصحيحة
4. د٧

   ليه دي غلط٧: خطأ في القيم الحدية.

ليه دي الصحالمتكامل هو مشتقة [س²·د(س)]، إذن التكامل = [س²·د(س)]₂³ = ٩×١ − ٤×٢ = ٩−٨ = ١. إذن ١=ك−٥ ← ك=٦.

لاحظ أن س²د′(س)+٢سد(س) هو بالضبط مشتقة حاصل الضرب س²د(س)، لأن د/دس [س²د(س)] = ٢سد(س)+س²د′(س). لذلك التكامل من ٢ إلى ٣ يساوي [س²د(س)]₂³. نعوض بالقيم المعطاة: عند ٣ القيمة ٣²×د(٣)=٩×١=٩، وعند ٢ القيمة ٢²×د(٢)=٤×٢=٨. الفرق =١. وبما أن التكامل = ك−٥، إذن ك−٥=١ ومنه ك=٦.

1. أ−٢

   ليه دي غلط−٢: تجاوز القيم الممكنة للدالة في الفترة.

2. ب−١ الإجابة الصحيحة
3. ج١

   ليه دي غلط١: قيمة الدالة عند الطرف الأيمن، ليست الأصغر.

4. د٢

   ليه دي غلط٢: تجاوز القيم الممكنة للدالة في الفترة.

ليه دي الصحد'(س) = جتاس + جاس = ٠ ← س = ٣π/٤ في [٠،π]. د(٠)=−١، د(٣π/٤)=√٢، د(π)=١. أصغر قيمة هي −١ عند س=٠.

لإيجاد القيمة الصغرى المطلقة على فترة مغلقة لا نكتفي بالنقاط الحرجة، بل نفحص الأطراف أيضًا. د′(س)=جتا س + جا س. بحل د′=٠ في [٠،π] نجد س=٣π/٤. نحسب القيم: د(٠)=جا٠−جتا٠=−١، ود(٣π/٤)=√٢، ود(π)=١. أصغر هذه القيم هو −١ عند الطرف س=٠، لذلك الصغرى المطلقة = −١.

1. أع

   ليه دي غلطع: الدالة ليست تزايدية على كل الأعداد الحقيقية.

2. بع⁺

   ليه دي غلطع⁺: الدالة تنقص بعد س=١.

3. ج]٠، ١[

   ليه دي غلط]٠،١[: يغفل الجزء ]−١/٢،٠[.

4. د]−١/٢، ١[ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحد'(س) = هـ⁽س−س²⁾·(١+٢س)(١−س). د'(س)>٠ عندما (١+٢س)(١−س)>٠ أي س∈]−١/٢، ١[.

نشتق د(س)=س هـ^(س−س²) باستعمال قاعدة الضرب والسلسلة. نحصل على د′(س)=هـ^(س−س²)[١+س(١−٢س)]، والصيغة المعتمدة في السجل تبسط إلى عامل موجب هـ^(س−س²) مضروبًا في (١+٢س)(١−س). العامل الأسّي موجب دائمًا، إذن إشارة المشتقة تتحدد من (١+٢س)(١−س). هذا المنتج موجب بين الجذرين −١/٢ و١، لذلك الدالة تزايدية على ]−١/٢،١[.

1. أ−١/٢ ص

   ليه دي غلط−١/٢ ص: خطأ في تطبيق قاعدة حاصل الضرب.

2. ب٣/٢ ص

   ليه دي غلط٣/٢ ص: خطأ في القاعدة وإشارة خاطئة.

3. ج−ص الإجابة الصحيحة
4. دص

   ليه دي غلطص: خطأ في الإشارة.

ليه دي الصحبالتفاضل الضمني: ٢(ص'هـˢ + صهـˢ) = ٠ ← ص' + ص = ٠ ← ص' = −ص.

لدينا ٢ص هـˢ = ٣هـ²، والطرف الأيمن ثابت بالنسبة إلى س. نشتق الطرف الأيسر بقاعدة الضرب: ٢(ص′هـˢ + ص هـˢ). مشتقة الطرف الأيمن تساوي صفرًا. نقسم على ٢هـˢ، وهي غير صفرية، فنحصل على ص′ + ص = ٠. إذن دص/دس = ص′ = −ص. الخطأ الشائع هو نسيان اشتقاق ص ضمنيًا أو ترك الإشارة موجبة.

1. أ١

   ليه دي غلط١: هذا المتكامل لا ثابت التكامل (لا يمثل دالة كاملة).

2. بس الإجابة الصحيحة
3. ج١/٢ قا²س

   ليه دي غلط١/٢ قا²س: ناتج عن تكامل خاطئ للدالة.

4. د١/٣ قا³س

   ليه دي غلط١/٣ قا³س: خطأ في تحديد الدالة الأصلية.

ليه دي الصح(١+ظا²س)جتا²س = قا²س·جتا²س = ١. إذن ∫١ دس = س + ث.

نستخدم الهوية المثلثية ١+ظا²س = قا²س. إذن المتكامل يصبح قا²س × جتا²س. وبما أن قا س = ١/جتا س، فإن قا²س × جتا²س = ١. لذلك التكامل كله يتحول إلى ∫١ دس، وقيمته س + ث. الاختيارات التي تحتوي على قا ناتجة عن محاولة تكامل قبل تبسيط المتكامل بالهوية.

1. أ−١

   ليه دي غلط−١: خطأ في حساب ثابت التكامل أو التعويض.

2. بصفر الإجابة الصحيحة
3. ج١

   ليه دي غلط١: خطأ في إشارة الحد.

4. د٢

   ليه دي غلط٢: خطأ في التعويض.

ليه دي الصحد(س) = س + جا(٢س)/٢ + ث. د(π) = π+٠+ث = ٢π ← ث=π. د(−π) = −π+٠+π = ٠.

نبدأ بإيجاد صورة الدالة من التكامل: ∫(١+جتا٢س) دس = س + جا٢س/٢ + ث. نستخدم الشرط د(π)=٢π. عند س=π يكون جا٢π=٠، فينتج π+ث=٢π، إذن ث=π. الآن نعوض بس=−π: د(−π)=−π+جا(−٢π)/٢+π = ٠. إذن القيمة المطلوبة صفر.

1. أπ/٢ الإجابة الصحيحة
2. بπ/٥

   ليه دي غلطπ/٥: خطأ في تكامل الدالة.

3. ج٣π/١٠

   ليه دي غلط٣π/١٠: خطأ في الحساب.

4. د٧π/١٠

   ليه دي غلط٧π/١٠: خطأ في الحساب.

ليه دي الصحالحجم = π∫₀¹(√س)² دس = π∫₀¹س دس = π[س²/٢]₀¹ = π/٢.

قانون حجم الدوران حول محور السينات هو V = π∫[ص]² دس. هنا ص=√س والحدود من س=٠ إلى س=١. عند التربيع لا يبقى الجذر؛ (√س)² = س. إذن الحجم = π∫₀¹ س دس = π[س²/٢]₀¹ = π/٢. الخطأ الشائع هو تكامل √س مباشرة بدل تربيع نصف القطر أولًا.

1. أ(٠، ٨) صغرى محلية الإجابة الصحيحة
2. ب(٠، ٨) عظمى محلية

   ليه دي غلط(٠،٨) عظمى: خطأ في تفسير إشارة د''.

3. ج(٠، ٦) صغرى محلية

   ليه دي غلط(٠،٦): قيمة الدالة عند س=٠ هي ٨ لا ٦.

4. د(٠، ٨) نقطة انقلاب

   ليه دي غلط(٠،٨) انقلاب: يستلزم د''(٠)=٠ وهذا غير متحقق.

ليه دي الصحد(س) = س²+٨. د'(س) = ٢س = ٠ ← س=٠. د''(٠) = ٢ > ٠ ← قيمة صغرى. د(٠)=٨. إذن (٠،٨) صغرى محلية.

الدالة ٦^(لو₆(س²+٨)) تبسط مباشرة إلى س²+٨ لأن الأساس واللوغاريتم لهما نفس الأساس. إذن د(س)=س²+٨. المشتقة الأولى د′(س)=٢س، فتساوي صفرًا عند س=٠. المشتقة الثانية د″(س)=٢ موجبة، لذلك النقطة قيمة صغرى محلية. قيمة الدالة عند س=٠ هي ٨، إذن النقطة هي (٠،٨) صغرى محلية.

1. أ١٣٦

   ليه دي غلط١٣٦: إشارة خاطئة ولا يأخذ في الاعتبار القيم السالبة.

2. ب٦٨

   ليه دي غلط٦٨: خطأ في الحساب.

3. ج−١٣٦/٣ الإجابة الصحيحة
4. د−٦٨

   ليه دي غلط−٦٨: خطأ في القيمة.

ليه دي الصح∫₀²(س²+٤)دس + ∫₂⁶(٣٠−١١س)دس = [س³/٣+٤س]₀² + [٣٠س−١١س²/٢]₂⁶ = (٨/٣+٨)+(−١٨−٣٨) = ٨/٣+٨−٥٦ = ٨/٣−٤٨ = −١٣٦/٣.

الدالة معرفة بصيغتين مختلفتين، لذلك لا يجوز تكاملها بصيغة واحدة من ٠ إلى ٦. نقسم التكامل عند س=٢: ∫₀²(س²+٤) دس + ∫₂⁶(٣٠−١١س) دس. الجزء الأول يساوي [س³/٣+٤س]₀² = ٨/٣+٨. الجزء الثاني يساوي [٣٠س−١١س²/٢]₂⁶ = −٥٦. بجمعهما: ٨/٣+٨−٥٦ = ٨/٣−٤٨ = −١٣٦/٣.

1. أ−١

   ليه دي غلط−١: خطأ في إشارة المشتقة الثانية.

2. ب١ الإجابة الصحيحة
3. جصفر

   ليه دي غلطصفر: يستلزم قا(٢ع)=٠ وهذا غير متحقق عند ع=π/٢.

4. د−٢

   ليه دي غلط−٢: خطأ في الحساب.

ليه دي الصحدص/دس = −ظا(٢ع). د²ص/دس² = [د/دع(−ظا٢ع)]/(دس/دع) = −٢قا²(٢ع)/(٢جتا٢ع) = −قا³(٢ع). عند ع=π/٢: ٢ع=π، قا(π)=−١، فـ د²ص/دس² = −(−١)³ = ١.

في الدوال المعلمية نحسب أولًا دص/دس = (دص/دع)/(دس/دع). من س=جا٢ع نحصل على دس/دع=٢جتا٢ع، ومن ص=جتا٢ع نحصل على دص/دع=−٢جا٢ع، إذن دص/دس=−ظا٢ع. للمشتقة الثانية نشتق هذا بالنسبة إلى ع ثم نقسم على دس/دع: د²ص/دس² = [−٢قا²٢ع]/[٢جتا٢ع] = −قا³٢ع. عند ع=π/٢ يكون ٢ع=π و قاπ=−١، إذن الناتج −(−١)³ = ١.

1. أ−٥

   ليه دي غلط−٥: تجاوز أصغر قيمة محسوبة.

2. ب−٤ الإجابة الصحيحة
3. ج−٣

   ليه دي غلط−٣: هي د(١) وليست الأصغر.

4. د٠

   ليه دي غلط٠: هي د(٤) وهي الأكبر.

ليه دي الصحعلى [١،٤]: |س|=س، فد(س)=س(س−٤)=س²−٤س. د'(س)=٢س−٤=٠ ← س=٢. د(١)=−٣، د(٢)=−٤، د(٤)=٠. أصغر قيمة = −٤.

على الفترة [١،٤] تكون س موجبة، لذلك |س|=س وتصبح الدالة د(س)=س(س−٤)=س²−٤س. نبحث عن الصغرى المطلقة بحساب النقاط الحرجة والطرفين. د′(س)=٢س−٤، فتساوي صفرًا عند س=٢. نحسب القيم: د(١)=−٣، د(٢)=−٤، د(٤)=٠. أصغر قيمة هي −٤، لذلك هي الصغرى المطلقة.